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Wie die Mathematik zu dem wurde, was sie heute ist

In einem FWF-Projekt verfolgte man die Ursprünge des Strukturalismus zurück bis in die erste Hälfte des 20. Jahrhunderts und fand unter anderem Verbindungen zu Rudolf Carnap und dem Wiener Kreis. Quelle: Shutterstock

Mathematik ist insofern eine besondere Wissenschaft, als nicht ganz klar ist, wovon sie eigentlich handelt. Wie real mathematische Gegenstände sind und welche Bedeutung diese Frage hat, beschäftigt Menschen seit der Antike. Um Mathematik zu betreiben, genügt es, gewisse Eigenschaften mathematischer Gegenstände, etwa der Natürlichen Zahlen, mittels einiger einfacher Aussagen – Axiome genannt – festzulegen. Doch damit ist noch nicht erklärt, was Zahlen eigentlich sind.

Heute ist eine Auffassung verbreitet, die sich „Strukturalismus“ nennt: Danach definieren die Axiome selbst die mathematischen Gegenstände –, wer die Axiome kennt, weiß genug. Mathematik handelt demnach nicht von Zahlen, sondern von abstrakten Strukturen. Was wie eine Spitzfindigkeit klingt, hatte nicht nur großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik selbst, sondern auch auf die modernen Naturwissenschaften im 20. Jahrhundert, die heute unser Leben prägen. Eine Gruppe um den Philosophen Georg Schiemer vom Institut für Philosophie der Universität Wien untersuchte nun, wie diese Auffassung entstand. In einem vom Wissenschaftsfonds FWF geförderten Projekt verfolgte man die Ursprünge des Strukturalismus zurück bis in die erste Hälfte des 20. Jahrhunderts und fand unter anderem Verbindungen zu Rudolf Carnap und dem Wiener Kreis.

Axiome als Definitionen

„Ein Fokus des Projekts lag auf der Geschichte der Mathematik im 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts“, sagt Projektleiter Georg Schiemer. „Wir haben versucht, bestimmte Entwicklungen in der Geometrie des 19. Jahrhunderts nachzuzeichnen, die zu einer strukturellen Wende geführt haben.“ Ursprünglich hätten Axiome den Sinn gehabt, bekannte Gegenstände zu beschreiben – reale oder imaginäre. „Die Entwicklung ging hin zu einer Idee von Axiomensystemen als implizite Definitionen von abstrakten Strukturen.“ „Implizit“ bedeutet hier, dass allein die Axiome die Gegenstände erklären. „Das war der Schritt von einer beschreibenden Auffassung hin zu einem Verständnis von Axiomen als Definitionen“, schildert Schiemer im Gespräch mit scilog. Daran beteiligt waren die deutschen Mathematiker David Hilbert und Richard Dedekind sowie die Gruppe um den Italiener Guiseppe Peano. Sie untersuchten unter anderem, wie man die Konsistenz oder Unabhängigkeit von Axiomen feststellen kann.

Geburtsstunde moderner Disziplinen

Ursprünglich waren Axiome also dazu da, etwas als bekannt Angenommenes abzubilden. War die Abbildung richtig, so stellte sich die Frage nach der Konsistenz der Axiome nicht. Hilbert und seine Kollegen wollten wissen, wie man die Konsistenz oder Unabhängigkeit von Axiomen rein formal nachweisen konnte. So wurde es möglich, Axiome aufzustellen, und sich erst danach zu fragen, was sie eigentlich beschreiben.

„Das war die Geburtsstunde moderner Disziplinen, die heute im Bereich der Logik oder mathematischen Logik untergebracht sind, insbesondere der Modelltheorie und Beweistheorie“, erklärt Schiemer. David Hilbert war es auch, der einige Jahrzehnte später sein berühmtes „Programm“ formulierte, wo er forderte, die Mathematik auf eine solide Grundlage zu stellen, indem man die Widerspruchsfreiheit aller Axiome beweist. Das Unterfangen scheiterte bekanntlich, bereitete aber den Weg für die mathematische Logik, der wir nicht nur ein tieferes Verständnis der Mathematik, sondern auch das Konzept des Computers verdanken. „Das Hilbert-Programm baut direkt auf diesen früheren Arbeiten auf“, betont Schiemer.

Strukturalismus in der Philosophie

„Der zweite Bereich, den wir uns in dem Projekt angesehen haben, war, wie die Philosophen im frühen 20. Jahrhundert diese Entwicklungen in der Mathematik im 19. Jahrhundert reflektiert haben“, sagt Schiemer. „Der Strukturalismus ist in dieser zeitgenössischen Philosophie der Mathematik die dominante Position.“ Schiemer verweist hier vor allem auf Rudolf Carnap, einen wichtigen Vertreter des Wiener Kreises, der nach einer Philosophie mit exakten Methoden gesucht hat. „Carnap hat in den 1920er- und 1930er-Jahren sehr intensiv über diese Entwicklungen der Mathematik nachgedacht.“ Auch der Philosoph Ernst Cassirer war hier aktiv. Carnap und Cassirer nahmen damit vorweg, was heute als natürliche Auffassung von Mathematik gilt. „Die Grundthese des Strukturalismus findet sich eben schon im frühen 20. Jahrhundert in der Philosophie“, sagt Georg Schiemer.

Eine Arbeitsgruppe für Strukturalismus

„Was wir versucht haben, ist, historisch zu erklären und philosophisch zu analysieren, wie Mathematik zu dem wurde, was sie heute ist“, sagt Schiemer. Die Arbeit an dem FWF-Projekt half dem Philosophen, einen ERC-Starting-Grant der Europäischen Kommission an Land zu ziehen und sich eine interdisziplinäre Forschungsgruppe zu diesem Thema aufzubauen, mit der er diese Arbeit weiterführt.


Zur Person

Georg Schiemer forscht als Assistenzprofessor am Institut für Philosophie der Universität Wien sowie als „External Member“ am Munich Center for Mathematical Philosophy (MCMP). Er interessiert sich für die Geschichte der Logik, analytische Philosophie und Philosophie der Mathematik. Er war Erwin-Schrödinger-Stipendiat des FWF.


Publikationen

Schiemer, G., Reck, E. and Zach, R.: Carnap’s early metatheory: scope and limits, Synthese, 2017
Schiemer, G. and Gratzl, N.: Two types of indefinites: Hilbert & Russell,  IfCoLog Journal of Logics and their Applications, 2017
Schiemer, G.: Carnap on logic and rationality, Synthese, 2017
Schiemer, G. and Andreas, H.: A choice semantical approach to theoretical truth, Studies in History and Philosophy of Science, 2016

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